Vetores: Álgebra e Geometria

O GPS do teu telemóvel recebe sinais de pelo menos quatro satélites em órbita a cerca de 20 000 km de altitude. Para determinar a tua posição, o sistema resolve um sistema de equações que envolve vetores — as direções e distâncias de cada satélite ao ponto onde estás. Sem a álgebra de vetores, seria impossível calcular latitudes, longitudes e altitudes em tempo real. Os vetores são, literalmente, o que te orienta no espaço.

O Que é um Vetor?

Um vetor é um objeto matemático com três atributos: módulo (comprimento), direção e sentido. Representa-se por uma seta e denota-se por $v$ ou em negrito: $v$ .

Dois vetores são iguais se têm o mesmo módulo, direção e sentido — independentemente do ponto de aplicação. A estes chamamos vetores livres.

O vetor nulo $0$ tem módulo zero e direção indefinida.

Vetor Definido por Dois Pontos

Dado $A = (x_{1}, y_{1})$ e $B = (x_{2}, y_{2})$ :

A B = (x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1})

O módulo (norma) do vetor é:

A B = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

Operações com Vetores

Adição de Vetores

Geometricamente, a adição segue a regra do paralelogramo ou a regra do triângulo.

Algebricamente: se $u = (u_{1}, u_{2})$ e $v = (v_{1}, v_{2})$ :

u + v = (u_{1} + v_{1}, u_{2} + v_{2})

Multiplicação por Escalar

k v = (k v_{1}, k v_{2})

Se $k > 0$ , o sentido mantém-se. Se $k < 0$ , o sentido inverte-se. Se $k = 0$ , obtém-se o vetor nulo.

Vetor Simétrico

- v = (- v_{1}, - v_{2})

E a subtração: $u - v = u + (- v)$ .

ℹVetores colineares

Dois vetores $u$ e $v$ são colineares (ou paralelos) se e só se existir um escalar $k$ tal que $u = k v$ . Algebricamente: $u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1} = 0$ .

Produto Escalar

O produto escalar (ou produto interno) de dois vetores é um número real:

u \cdot v = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2}

Em termos de módulos e ângulo:

u \cdot v = ∣ u ∣ \cdot ∣ v ∣ \cdot cos θ

onde $θ$ é o ângulo entre os vetores ( $0 \leq θ \leq π$ ).

Propriedades do Produto Escalar

Comutatividade: $u \cdot v = v \cdot u$
Distributividade: $u \cdot (v + w) = u \cdot v + u \cdot w$
Auto-produto: $v \cdot v = ∣ v ∣^{2}$

Ângulo entre Vetores

Isolando $cos θ$ :

cos θ = \frac{u \cdot v}{∣ u ∣ \cdot ∣ v ∣}

Caso especial — perpendicularidade:

u ⊥ v ⟺ u \cdot v = 0

Exemplo Resolvido — Ângulo entre Vetores

Dados $u = (3, 4)$ e $v = (1, - 2)$ , calcula o ângulo entre eles.

Passo 1: Produto escalar:

u \cdot v = 3 \times 1 + 4 \times (- 2) = 3 - 8 = - 5

Passo 2: Módulos:

∣ u ∣ = 9 + 16 = 5 ∣ v ∣ = 1 + 4 = 5

Passo 3: Cosseno do ângulo:

cos θ = \frac{- 5}{5 5} = \frac{- 1}{5} ⟹ θ = arccos (- \frac{1}{5}) \approx 116, 6°

Projeção de um Vetor

A projeção ortogonal de $u$ sobre $v$ é o vetor:

proj_{v} u = \frac{u \cdot v}{∣ v ∣ ^{2}} \cdot v

O escalar de projeção (módulo com sinal) é:

comp_{v} u = \frac{u \cdot v}{∣ v ∣}

Aplicação: Em física, o trabalho realizado por uma força $F$ ao longo de um deslocamento $d$ é:

W = F \cdot d = ∣ F ∣∣ d ∣ cos θ

Vetores no Espaço 3D

No espaço tridimensional, um vetor tem três coordenadas: $v = (v_{1}, v_{2}, v_{3})$ .

A base canónica é formada pelos vetores unitários:

i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1)

Qualquer vetor pode ser escrito como:

v = v_{1} i + v_{2} j + v_{3} k

O produto escalar e o módulo generalizam-se:

u \cdot v = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} + u_{3} v_{3}

∣ v ∣ = v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2}

💡Vetores unitários

Um vetor unitário tem módulo 1. Para obter o vetor unitário na direção de $v$ , divide-se pelo módulo: $\overset{v}{^} = v /∣ v ∣$ . Estes vetores são muito usados em computação gráfica para representar normais a superfícies.

Condição de Perpendicularidade — Exemplo Geométrico

Mostra que os vetores $u = (2, - 3, 1)$ e $v = (1, 1, 1)$ são perpendiculares.

u \cdot v = 2 \times 1 + (- 3) \times 1 + 1 \times 1 = 2 - 3 + 1 = 0

Como o produto escalar é zero, os vetores são perpendiculares. ∎

🔬Vetores e computação gráfica

Os motores de jogos como o Unreal Engine e o Unity usam produtos escalares constantemente: para calcular a intensidade da luz em cada ponto (produto escalar da normal à superfície com a direção da luz), para detetar colisões e para a IA dos personagens determinarem em que direção "olham".

Combinação Linear e Dependência

Os vetores $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}$ são linearmente dependentes se existem escalares $c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}$ , não todos nulos, tais que:

c_{1} v_{1} + c_{2} v_{2} + \dots + c_{n} v_{n} = 0

No plano, dois vetores são linearmente dependentes se e só se são colineares (paralelos).

Para o Exame

Memoriza as fórmulas do produto escalar tanto na forma algébrica como na trigonométrica.
A condição de perpendicularidade $u \cdot v = 0$ é testada frequentemente em problemas de geometria analítica.
A projeção de vetores aparece em problemas de trabalho (física) e de decomposição de forças.
No IAVE, os vetores surgem em contextos de geometria analítica plana e espacial, especialmente em determinação de ângulos entre retas e planos.