Trigonometria: O Círculo que Explica o Universo

Um cardiólogo olha para um eletrocardiograma e vê um padrão de picos e vales repetidos. Um engenheiro de som analisa uma gravação e vê oscilações. Um físico estuda a propagação da luz e encontra equações periódicas. Um engenheiro de telecomunicações desenha uma antena e calcula campos oscilatórios.

Todos eles estão a usar a mesma matemática: seno e cosseno.

Estas funções não nasceram para descrever ondas. Nasceram para resolver triângulos. O facto de descreverem praticamente todos os fenómenos periódicos do universo é um dos milagres da matemática.

Do Triângulo ao Círculo

Na trigonometria de triângulos rectângulos do 9º ano, definiste:

sin α = \frac{cateto oposto}{hipotenusa}, cos α = \frac{cateto adjacente}{hipotenusa}, tan α = \frac{sin α}{cos α}

Esta definição só funciona para ângulos entre 0° e 90°. Para ângulos maiores (ou negativos), precisamos de uma generalização: o círculo trigonométrico.

ℹNota

Círculo trigonométrico: circunferência centrada na origem com raio 1. Para cada ângulo θ (medido desde o eixo positivo dos xx, no sentido anti-horário):

P = (cos θ, sin θ) é o ponto na circunferência
sin θ é a coordenada y de P
cos θ é a coordenada x de P

Radiano: A Medida Natural

Nos exames do 10º ano, os ângulos são frequentemente expressos em radianos.

1 radiano é o ângulo cujo arco correspondente no círculo trigonométrico tem comprimento 1 (igual ao raio).

Como a circunferência tem comprimento 2π:

360° = 2 π rad \Rightarrow 1° = \frac{π}{180} rad

| Graus | Radianos | |-------|---------| | 0° | 0 | | 30° | π/6 | | 45° | π/4 | | 60° | π/3 | | 90° | π/2 | | 180° | π | | 270° | 3π/2 | | 360° | 2π |

Relações Fundamentais

Da definição no círculo trigonométrico resultam identidades essenciais:

Relação fundamental:

sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1

Periodicidade: (o círculo repete-se a cada 2π)

sin (θ + 2 π) = sin θ cos (θ + 2 π) = cos θ

Paridade:

sin (- θ) = - sin θ (fun \overset{c}{¸} \overset{a}{˜} o \overset{ı}{ˊ} mpar)

cos (- θ) = cos θ (fun \overset{c}{¸} \overset{a}{˜} o par)

Simetrias:

sin (π - θ) = sin θ cos (π - θ) = - cos θ

Fórmulas de Adição

sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b

cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b

Caso especial (duplicação):

sin (2 a) = 2 sin a cos a

cos (2 a) = cos^{2} a - sin^{2} a = 2 cos^{2} a - 1 = 1 - 2 sin^{2} a

As Funções Trigonométricas

As funções $y = sin x$ e $y = cos x$ são as primeiras funções periódicas que estudas — funções que se repetem indefinidamente.

Propriedades de $y = A sin (ω x + ϕ) + d$ :

Amplitude: |A| (altura máxima da onda)
Período: $T = \frac{2 π}{∣ ω ∣}$ (duração de um ciclo)
Fase: φ (deslocamento horizontal)
Ordenada do eixo: d (deslocamento vertical)

É exatamente esta forma que descreve um eletrocardiograma, o som de uma nota musical, ou a corrente elétrica alternada nas tomadas da tua casa (50 Hz em Portugal → período de 0,02 s).