Volumes: Medir o Espaço Tridimensional

A Sagrada Família de Gaudí em Barcelona contém 18 torres, sendo a central com 172,5 metros de altura — uma pirâmide coroada por uma esfera. O arquiteto que projetou cada peça calculou volumes e áreas para garantir que a estrutura seria estável e que a quantidade exata de material seria encomendada.

Trabalhar com sólidos geométricos — calcular quanto espaço ocupam e quanta superfície têm — é uma capacidade matemática fundamental em engenharia, arquitetura, design e ciência.

Sólidos Poliedros

Prisma: sólido com duas bases paralelas e iguais (polígonos), ligadas por faces laterais rectangulares.

V_{prisma} = A_{base} \times h

Cubo (prisma de base quadrada): V = a³

Paralelepípedo (caixa): V = c × l × a

Pirâmide: uma base poligonal e faces triangulares que convergem num vértice (ápice).

V_{pir \overset{a}{ˆ} mide} = \frac{1}{3} A_{base} \times h

ℹNota

A pirâmide tem exatamente 1/3 do volume do prisma com a mesma base e altura. Podes verificar enchendo uma pirâmide com areia e despejando 3 vezes para encher o prisma correspondente.

Sólidos de Revolução

Cilindro (prisma com base circular):

V = π r^{2} h A_{lateral} = 2 π r h

Cone (pirâmide com base circular):

V = \frac{1}{3} π r^{2} h A_{lateral} = π r g

(g = geratriz = aresta lateral = √(r² + h²))

Esfera:

V = \frac{4}{3} π r^{3} A = 4 π r^{2}

Área de Superfície Total

A área de superfície total (A_t) é a soma de todas as faces:

Para um paralelepípedo: A_t = 2(cl + ca + la) — onde c, l, a são comprimento, largura e altura.

Importante em embalagens (quantidade de material), pintura (quantidade de tinta), transferência de calor (área de contacto).