Sistemas de Equações: Duas Incógnitas, Uma Solução
Em 2022, o economista Lucas Costa descobriu que o preço de duas rações de marisco e um bife num restaurante de Cascais era 54€. Três rações e dois bifes custavam 86€. Quanto custava cada prato?
Este problema tem duas incógnitas (preço da ração e do bife) e duas condições (equações). Para resolvê-lo, precisamos de um sistema de equações.
O que é um Sistema
Um sistema de duas equações a duas incógnitas é um par de equações que devem ser verdadeiras simultaneamente:
A solução é o par (x, y) que satisfaz ambas as equações ao mesmo tempo.
Geometricamente: cada equação representa uma recta. A solução é o ponto de intersecção das duas rectas.
Método da Substituição
- Isola uma incógnita (ex: y) numa das equações
- Substitui essa expressão na outra equação
- Resolve a equação com uma incógnita
- Calcula a outra incógnita
Exemplo: 2x + y = 7 e x − y = 2
Da 2ª: y = x − 2. Substitui na 1ª: 2x + (x−2) = 7 → 3x = 9 → x = 3. Então y = 3−2 = 1. Solução: (3, 1).
Método da Adição/Subtração
- Multiplica uma (ou ambas) as equações por constantes para que os coeficientes de uma incógnita fiquem com valores opostos
- Soma as duas equações (a incógnita elimina-se)
- Resolve a equação resultante
- Calcula a outra incógnita
Exemplo — problema do cinema: 2a + 3c = 47 e a + 4c = 38.
Multiplica a 2ª por 2: 2a + 8c = 76. Subtrai da 1ª: (2a+3c)−(2a+8c) = 47−76 → −5c = −29 → c = 5,80€. Então: a = 38−4(5,80) = 38−23,20 = 14,80€.
Tipos de Sistemas
| Tipo | Geometria | Soluções | |------|-----------|----------| | Possível determinado | Rectas que se intersectam | 1 solução | | Possível indeterminado | Rectas coincidentes | Infinitas soluções | | Impossível | Rectas paralelas | Nenhuma solução |