Sucessões: A Matemática do Crescimento

Em Março de 2020, o número de casos confirmados de COVID-19 em Portugal duplicava a cada 3 dias. De 13 a 15 de Março: de 62 para 112 casos. De 15 a 18: de 112 para 245. Triplicou a cada semana.

Os epidemiologistas que aconselhariam o governo nas semanas seguintes não precisavam de adivinhar o futuro: tinham as progressões geométricas para projetar o crescimento, e as sucessões numéricas para modelar o comportamento a longo prazo. Os números não mentiram.

O Que É uma Sucessão

Uma sucessão é uma função cujo domínio são os números naturais:

u : N \to R, n \mapsto u_{n}

Escrevemos a sucessão como $(u_{n})_{n \in N}$ ou simplesmente $(u_{n})$ . Cada $u_{n}$ é o termo de ordem n.

Uma sucessão pode ser definida:

Explicitamente: $u_{n} = f (n)$ — calcula-se qualquer termo diretamente
Recursivamente: $u_{n + 1} = g (u_{n})$ — cada termo depende do anterior

Progressão Aritmética (PA)

Em cada progressão aritmética, a diferença entre termos consecutivos é constante.

u_{n + 1} - u_{n} = r (raz \overset{a}{˜} o constante)

Termo geral: $u_{n} = u_{1} + (n - 1) r$

Soma dos n primeiros termos: $S_{n} = \frac{n ( u _{1} + u _{n} )}{2}$

💡Dica

Progressão aritmética 3, 7, 11, 15, ...

Razão: r = 4. Termo geral: uₙ = 3 + (n−1)×4 = 4n − 1. Soma dos 100 primeiros: S₁₀₀ = 100×(3+399)/2 = 100×201 = 20 100.

Progressão Geométrica (PG)

Em cada progressão geométrica, o quociente entre termos consecutivos é constante.

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = q (raz \overset{a}{˜} o constante, q \neq = 0)

Termo geral: $u_{n} = u_{1} \cdot q^{n - 1}$

Soma dos n primeiros termos (q ≠ 1):

S_{n} = u_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}

Juro composto é uma progressão geométrica com razão q = 1+i (i = taxa de juro):

C_{n} = C_{0} \cdot (1 + i)^{n}

ℹNota

Exemplo real: Depósito inicial de 1000€ com juro anual de 3%. Após 20 anos: C₂₀ = 1000×(1,03)²⁰ ≈ 1806€. O juro composto duplica o capital em pouco mais de 20 anos — a chamada "regra dos 72": 72÷taxa ≈ anos para duplicar.

Sucessão de Fibonacci e o Número de Ouro

Em 1202, Fibonacci propôs: começando com 1 par de coelhos, sabendo que cada par gera um novo par por mês a partir do 2º mês de vida, quantos pares existem ao fim de n meses?

F_{1} = 1, F_{2} = 1, F_{n + 2} = F_{n} + F_{n + 1}

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

O rácio entre termos consecutivos converge para o número de ouro:

n \to \infty lim \frac{F _{n + 1}}{F _{n}} = φ = \frac{1 + 5}{2} \approx 1, 618

Este número aparece em espirais de galáxias, flores, conchas de nautilus, e na proporção considerada mais estética pelo olho humano.

Limite de uma Sucessão

Uma sucessão $(u_{n})$ tem limite L se os termos se aproximam indefinidamente de L:

n \to \infty lim u_{n} = L

Se o limite existe, a sucessão é convergente. Caso contrário, é divergente.

Critério de comparação: Se $0 < u_{n} < v_{n}$ e $v_{n} \to 0$ , então $u_{n} \to 0$ .

Limite da PG: $lim_{n \to \infty} q^{n} = 0$ se e só se $∣ q ∣ < 1$ .