Semelhança de Triângulos

Por volta de 585 a.C., Tales de Mileto estava no Egipto e quis medir a altura da Grande Pirâmide de Gizé. Não escalou a pirâmide. Mediu o comprimento da sombra da pirâmide no momento em que a sua própria sombra igualava a sua altura. Nesse momento, a razão sombra/altura é 1:1 para ambas as figuras — a pirâmide e Tales formam triângulos semelhantes com o Sol.

É um dos primeiros registos históricos do uso de semelhança para medir o que parece impossível de medir diretamente.

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Figuras Semelhantes

Duas figuras são semelhantes se têm a mesma forma mas possivelmente tamanhos diferentes:

• Ângulos correspondentes iguais
• Lados correspondentes proporcionais (razão de semelhança k)

Razão de semelhança k: $k=\frac{\text{lado da figura 2}}{\text{lado correspondente da figura 1}}$

• Perímetros: razão k
• Áreas: razão k²
• Volumes: razão k³ (em sólidos semelhantes)

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Critérios de Semelhança de Triângulos

AA (Ângulo-Ângulo): dois ângulos iguais → triângulos semelhantes. (Basta dois ângulos, pois o terceiro fica automaticamente igual — soma = 180°)

LAL (Lado-Ângulo-Lado): dois lados proporcionais e ângulo entre eles igual.

LLL (Lado-Lado-Lado): os três pares de lados proporcionais.

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Teorema de Tales

Quando várias rectas paralelas cortam duas transversais, as razões dos segmentos correspondentes são iguais.

Aplicação direta: para calcular alturas ou distâncias inacessíveis usando sombras ou espelhos.

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Trigonometria Básica em Triângulos Rectângulos

Para um ângulo agudo α num triângulo rectângulo:

Valores notáveis: | α | sin α | cos α | tan α | |---|-------|-------|-------| | 30° | 1/2 | √3/2 | √3/3 | | 45° | √2/2 | √2/2 | 1 | | 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |