Polinómios: A Álgebra das Expressões

A temperatura média em Portugal em função do mês do ano pode ser aproximada por um polinómio. O lucro de uma empresa em função das unidades vendidas é frequentemente um polinómio. A trajetória de uma bola lançada é descrita por um polinómio de grau 2.

Os polinómios são as expressões algébricas mais versáteis da matemática elementar — simples de operar, mas capazes de modelar uma enorme variedade de situações.

Monomios e Polinómios

Monómio: produto de um número (coeficiente) por uma ou mais variáveis com expoentes inteiros não negativos. Exemplos: 3x, −5x²y, 7, 2x³

Grau de um monómio: soma dos expoentes das variáveis (ex: 2x³y² tem grau 5).

Polinómio: soma de monómios (termos).

P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}

Grau do polinómio: maior grau dos seus termos.

Termos semelhantes: têm as mesmas variáveis com os mesmos expoentes → podem ser somados.

Operações com Polinómios

Adição/Subtração: agrupar e operar termos semelhantes.

Multiplicação: distribuir cada termo de um factor pelos termos do outro.

💡Dica

Exemplo: (2x+3)(x−4) = 2x·x + 2x·(−4) + 3·x + 3·(−4) = 2x² − 8x + 3x − 12 = 2x² − 5x − 12

Produtos Notáveis

Algumas multiplicações aparecem tão frequentemente que vale a pena memorizar:

Quadrado da soma:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

Quadrado da diferença:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

Produto da soma pela diferença:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

Factorização

Factorizar é escrever um polinómio como produto de factores mais simples (operação inversa da multiplicação).

Casos de factorização:

1. Factor comum:

6 x^{2} + 9 x = 3 x (2 x + 3)

2. Diferença de quadrados:

x^{2} - 9 = (x + 3) (x - 3)

3. Trinómio do 2º grau (quando possível):

x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3)