Otimização com Derivadas

A equipa de engenharia de embalagens da Samsung tem um problema: criar uma caixa de cartão sem tampa, com volume fixo de 500 cm³, usando o mínimo de material. A caixa tem base quadrada — mas qual deve ser o lado da base? Demasiado pequeno, a caixa fica muito alta e gasta mais cartão nas paredes. Demasiado grande, a base desperdiça material. Existe um ponto exato ótimo — e encontrá-lo é exatamente o que as derivadas permitem fazer.

Máximos e Mínimos — Conceitos Fundamentais

Máximo e Mínimo Locais

A função $f$ tem um máximo local em $x = c$ se $f (c) \geq f (x)$ para todo o $x$ numa vizinhança de $c$ .

Analogamente para mínimo local.

Máximo e Mínimo Globais (Absolutos)

O máximo global é o maior valor de $f$ em todo o domínio; o mínimo global é o menor.

ℹTeorema de Weierstrass

Se $f$ é contínua num intervalo fechado $[a, b]$ , então $f$ tem sempre máximo e mínimo absolutos nesse intervalo — atingidos num ponto interior ou nas extremidades.

Critério da Derivada Primeira (Critério de Primeira Ordem)

Condição Necessária

Se $f$ tem extremo local em $x = c$ e é derivável em $c$ , então:

f^{'} (c) = 0

Aos pontos onde $f^{'} (c) = 0$ chamamos pontos críticos.

Atenção: Esta condição é necessária mas não suficiente. Um ponto crítico pode ser máximo, mínimo ou ponto de inflexão (se a derivada não muda de sinal).

Critério do Sinal de f'

Para um ponto crítico $x = c$ :

| Variação de $f^{'}$ | Tipo de extremo | |---|---| | $f^{'} > 0$ antes de $c$ , $f^{'} < 0$ depois | Máximo local | | $f^{'} < 0$ antes de $c$ , $f^{'} > 0$ depois | Mínimo local | | $f^{'}$ não muda de sinal | Ponto de inflexão |

Critério da Derivada Segunda (Critério de Segunda Ordem)

Se $f^{'} (c) = 0$ e $f^{''} (c)$ existe:

f^{''} (c) > 0 ⟹ m \overset{ı}{ˊ} nimo local em c

f^{''} (c) < 0 ⟹ m \overset{a}{ˊ} ximo local em c

f^{''} (c) = 0 ⟹ inconclusivo (usar crit \overset{e}{ˊ} rio de primeira ordem)

Intuição: Se $f^{''} (c) > 0$ , a função é côncava para cima em $c$ — a curva «abre para cima» como um vale (mínimo). Se $f^{''} (c) < 0$ , côncava para baixo — como um cume (máximo).

Exemplo Resolvido — Função Cúbica

Estuda os extremos de $f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 4$ .

Passo 1: Calcular $f^{'} (x)$ :

f^{'} (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12 = 6 (x^{2} - 3 x + 2) = 6 (x - 1) (x - 2)

Passo 2: Pontos críticos: $f^{'} (x) = 0 ⟹ x = 1$ ou $x = 2$ .

Passo 3: Tabela de variação:

| $x$ | $(- \infty, 1)$ | 1 | $(1, 2)$ | 2 | $(2, + \infty)$ | |---|---|---|---|---|---| | $f^{'} (x)$ | + | 0 | − | 0 | + | | $f (x)$ | ↗ | máx. | ↘ | mín. | ↗ |

Passo 4: Valores:

Máximo local: $f (1) = 2 - 9 + 12 - 4 = 1$
Mínimo local: $f (2) = 16 - 36 + 24 - 4 = 0$

Verificação com critério de segunda ordem:

f^{''} (x) = 12 x - 18

$f^{''} (1) = - 6 < 0$ → máximo ✓ $f^{''} (2) = 6 > 0$ → mínimo ✓

Problema de Otimização — A Caixa da Samsung

Enunciado: Constrói-se uma caixa sem tampa a partir de uma folha de cartão quadrada de lado $a$ , cortando quadrados iguais de lado $x$ em cada canto e dobrando as abas. Determina o valor de $x$ que maximiza o volume da caixa.

Modelação:

Base da caixa: $(a - 2 x) \times (a - 2 x)$
Altura: $x$
Volume: $V (x) = x (a - 2 x)^{2}$

Domínio: $0 < x < a /2$ .

Derivada:

V^{'} (x) = (a - 2 x)^{2} + x \cdot 2 (a - 2 x) (- 2) = (a - 2 x) [(a - 2 x) - 4 x] = (a - 2 x) (a - 6 x)

Pontos críticos em $(0, a /2)$ : $V^{'} (x) = 0$ quando $x = a /6$ (pois $x = a /2$ está na fronteira).

Verificação: $V^{''} (x) = (a - 2 x) (- 6) + (a - 6 x) (- 2) = - 6 a + 12 x - 2 a + 12 x = - 8 a + 24 x$

V^{''} (a /6) = - 8 a + 4 a = - 4 a < 0

Logo $x = a /6$ é um máximo.

O volume máximo é:

V (\frac{a}{6}) = \frac{a}{6} \cdot (\frac{2 a}{3})^{2} = \frac{a}{6} \cdot \frac{4 a ^{2}}{9} = \frac{2 a ^{3}}{27}

💡Estratégia geral para problemas de otimização

Define a variável e a função a otimizar.
Estabelece as restrições (equações de ligação).
Escreve a função em termos de uma só variável.
Determina o domínio relevante.
Calcula a derivada e os pontos críticos.
Usa o critério de primeira ou segunda ordem.
Não esqueças de verificar as extremidades do domínio!

Exemplo — Lucro Máximo

Uma empresa produz $x$ unidades de um produto. O custo total é $C (x) = x^{2} + 10 x + 200$ e a receita é $R (x) = 50 x$ .

O lucro é $L (x) = R (x) - C (x) = - x^{2} + 40 x - 200$ .

L^{'} (x) = - 2 x + 40 = 0 ⟹ x = 20

L^{''} (20) = - 2 < 0 ⟹ m \overset{a}{ˊ} ximo

Lucro máximo: $L (20) = - 400 + 800 - 200 = 200$ €.

Exemplo — Área Máxima com Perímetro Fixo

Uma quinta quer vedar uma área retangular com 100 m de vedação, usando uma parede como um dos lados. Qual a dimensão que maximiza a área?

Seja $x$ o lado paralelo à parede e $y$ os dois lados perpendiculares.

Restrição: $x + 2 y = 100 ⟹ x = 100 - 2 y$

Área: $A (y) = x y = (100 - 2 y) y = 100 y - 2 y^{2}$

A^{'} (y) = 100 - 4 y = 0 ⟹ y = 25

Logo $x = 50$ , e a área máxima é $50 \times 25 = 1250 m^{2}$ .

🔬Otimização em economia

A regra de maximização do lucro em microeconomia é exatamente esta: o lucro é máximo quando a receita marginal iguala o custo marginal — ou seja, quando $R^{'} (x) = C^{'} (x)$ , o que equivale a $L^{'} (x) = 0$ .

Máximos e Mínimos Absolutos em Intervalo Fechado

Para encontrar o máximo e mínimo absolutos de $f$ em $[a, b]$ :

Calcula $f^{'} (x)$ e resolve $f^{'} (x) = 0$ em $(a, b)$ .
Avalia $f$ nos pontos críticos e nas extremidades $a$ e $b$ .
O maior valor é o máximo absoluto; o menor é o mínimo absoluto.

Para o Exame

Em problemas de otimização, a primeira tarefa é sempre modelar — escrever a função objetivo em termos de uma única variável.
Nunca esqueças de verificar as extremidades do domínio para máximos e mínimos absolutos.
O critério de segunda ordem é mais rápido mas falha quando $f^{''} (c) = 0$ — nesse caso usa o critério de primeira ordem.
Em exames do IAVE, os problemas de otimização habitualmente pedem: caixa de volume máximo, área máxima com perímetro fixo, e problemas de lucro/custo mínimo.