Inequações e Sistemas de Inequações

Quando os engenheiros projetaram a Ponte Vasco da Gama, em Lisboa, não calcularam uma única carga exata — calcularam um intervalo seguro. O tabuleiro aguenta entre 15 000 e 22 000 toneladas? A oscilação máxima admissível é inferior a 1,5 metros? Essas perguntas não têm respostas únicas: têm intervalos de solução, e é exatamente isso que as inequações fazem — descrevem não um ponto, mas uma região do eixo real onde determinada condição se verifica.

Relembrar — Intervalos na Reta Real

Antes de resolver inequações, é essencial dominar a notação de intervalos:

| Notação | Significado | Representação | |---|---|---| | $[a, b]$ | $a \leq x \leq b$ | fechado em ambas as extremidades | | $(a, b)$ | $a < x < b$ | aberto em ambas as extremidades | | $[a, b)$ | $a \leq x < b$ | fechado em $a$ , aberto em $b$ | | $(a, + \infty)$ | $x > a$ | ilimitado à direita |

ℹNotação portuguesa

Em Portugal, nos exames do IAVE, a notação de conjuntos é frequentemente combinada com a de intervalos. Sabe escrever a solução tanto como intervalo ( $[- 2, 3)$ ) como conjunto ( ${x \in R : - 2 \leq x < 3}$ ).

Inequações do 1.º Grau

Uma inequação do 1.º grau tem a forma $a x + b > 0$ (ou com $<, \leq, \geq$ ).

Regra fundamental: ao multiplicar ou dividir ambos os membros por um número negativo, o sinal da inequação inverte-se.

Exemplo Resolvido

Resolver $3 - 2 x \leq 7$ .

3 - 2 x \leq 7 ⟺ - 2 x \leq 4 ⟺ x \geq - 2

Solução: $x \in [- 2, + \infty)$ .

Note a inversão do sinal ao dividir por $- 2$ .

Inequações do 2.º Grau — Tabela de Sinais

Para resolver $a x^{2} + b x + c > 0$ (ou $< 0$ ), o método da tabela de sinais é o mais eficiente.

Método

Calcula as raízes da equação $a x^{2} + b x + c = 0$ .
Constrói a tabela de sinais com as raízes como pontos de transição.
Determina o sinal do polinómio em cada intervalo.
Seleciona os intervalos onde o sinal é o pretendido.

Exemplo Detalhado

Resolver $x^{2} - x - 6 < 0$ .

Passo 1: Raízes de $x^{2} - x - 6 = 0$ :

Δ = 1 + 24 = 25 ⟹ x = \frac{1 \pm 5}{2} ⟹ x_{1} = - 2, x_{2} = 3

Passo 2: Tabela de sinais:

| Intervalo | $x + 2$ | $x - 3$ | $x^{2} - x - 6$ | |---|---|---|---| | $x < - 2$ | − | − | + | | $x = - 2$ | 0 | − | 0 | | $- 2 < x < 3$ | + | − | − | | $x = 3$ | + | 0 | 0 | | $x > 3$ | + | + | + |

Passo 3: Queremos $< 0$ , logo a solução é $x \in (- 2, 3)$ .

💡Regra rápida para parábolas

Se $a > 0$ e existem duas raízes $x_{1} < x_{2}$ :

$a x^{2} + b x + c < 0$ tem solução $(x_{1}, x_{2})$
$a x^{2} + b x + c > 0$ tem solução $(- \infty, x_{1}) \cup (x_{2}, + \infty)$

Se $a < 0$ , os casos invertem-se.

Inequações Racionais

Uma inequação racional tem a forma $\frac{P ( x )}{Q ( x )} \geq 0$ . Resolve-se com a tabela de sinais, mas atenção: os zeros do denominador excluem-se da solução (divisão por zero é indefinida).

Exemplo

Resolver $\frac{x ^{2} - 4}{x - 1} \leq 0$ .

Zeros do numerador: $x^{2} - 4 = 0 ⟹ x = \pm 2$

Zero do denominador (excluído): $x = 1$

Tabela de sinais (pontos críticos: $x = - 2, 1, 2$ ):

| Intervalo | $x + 2$ | $x - 2$ | $x - 1$ | Quociente | |---|---|---|---|---| | $x < - 2$ | − | − | − | − | | $x = - 2$ | 0 | − | − | 0 | | $- 2 < x < 1$ | + | − | − | + | | $x = 1$ | + | − | 0 | ∄ | | $1 < x < 2$ | + | − | + | − | | $x = 2$ | + | 0 | + | 0 | | $x > 2$ | + | + | + | + |

Solução ( $\leq 0$ ): $x \in (- \infty, - 2] \cup (1, 2]$ .

Note: $x = 1$ está excluído.

⚠Armadilha clássica

Nunca multipliques ambos os membros por $Q (x)$ para resolver uma inequação racional — o sinal de $Q (x)$ pode ser negativo em parte do domínio, e inverterias o sinal da inequação incorretamente. Usa sempre a tabela de sinais.

Sistemas de Inequações

Um sistema de inequações requer satisfazer simultaneamente todas as condições. A solução é a interseção das soluções de cada inequação individual.

Exemplo

Resolver o sistema:

{2 x - 1 > 3 x^{2} - 5 x + 4 \leq 0

Inequação 1: $2 x - 1 > 3 ⟺ x > 2$ . Solução: $S_{1} = (2, + \infty)$ .

Inequação 2: $x^{2} - 5 x + 4 = 0 ⟹ x = 1$ ou $x = 4$ . Como $a > 0$ : $S_{2} = [1, 4]$ .

Interseção:

S = S_{1} \cap S_{2} = (2, + \infty) \cap [1, 4] = (2, 4]

Aplicação — Engenharia de Segurança

Um cabo de uma ponte suporta uma tensão $T$ (em kN) dada por $T = 2 x^{2} - 12 x + 20$ , onde $x$ é a carga em toneladas. O cabo falha se $T < 0$ . Para que valores de $x$ o cabo está em risco?

2 x^{2} - 12 x + 20 < 0 ⟺ x^{2} - 6 x + 10 < 0

Δ = 36 - 40 = - 4 < 0

Como $Δ < 0$ e $a > 0$ , o polinómio é sempre positivo. O cabo nunca falha — está sempre seguro para qualquer carga real.

🔬Contexto real

Em engenharia civil, os cálculos de segurança são exatamente este tipo de análise: verifica-se que determinada função (tensão, deformação, pressão) nunca ultrapassa um limiar crítico, para qualquer valor da variável no intervalo de uso.

Para o Exame

Na tabela de sinais, identifica todos os zeros do numerador e denominador antes de começar.
Nos sistemas, representa as soluções de cada inequação numa reta e depois interseta visualmente.
Se $Δ < 0$ numa inequação do 2.º grau: se $a > 0$ , a inequação $> 0$ é verdadeira para todo o $R$ ; a inequação $< 0$ é impossível.
Nos exames nacionais, os sistemas de inequações surgem frequentemente em problemas de domínio de funções racionais e radicais.