Integrais: A Matemática da Acumulação

Em 1687, Newton publicou os Principia Mathematica. Para calcular as órbitas dos planetas sob a lei da gravidade (que ele mesmo acabava de descobrir), Newton precisou de uma operação matemática nova: integração.

O problema era este: dado que sabia a taxa de variação da posição (velocidade), como encontrar a própria posição? Esta é a operação inversa da derivação. Newton chamou-lhe "fluentes"; Leibniz, que a descobriu independentemente na mesma década, criou a notação que usamos hoje: ∫.

Primitivas

Uma primitiva (ou antiderivada) de f é uma função F tal que F'(x) = f(x).

Se F é uma primitiva de f, então F + C (para qualquer constante C) também é. Por isso, a primitiva geral inclui sempre "+C".

Regras imediatas:

| f(x) | F(x) = ∫f(x)dx | |------|----------------| | xⁿ (n≠−1) | xⁿ⁺¹/(n+1) + C | | 1/x | ln|x| + C | | eˣ | eˣ + C | | sin x | −cos x + C | | cos x | sin x + C |

Integral Definido: A Área sob a Curva

O integral definido de f entre a e b mede a área algébrica entre o gráfico de f e o eixo dos xx:

\int_{a}^{b} f (x) d x

Riemann definiu-o como limite de somas de rectângulos cada vez mais finos:

\int_{a}^{b} f (x) d x = n \to \infty lim k = 1 \sum n f (x_{k}^{*}) \cdot Δ x

Nota: Onde f < 0, a área conta negativamente (fica "abaixo" do eixo xx).

Teorema Fundamental do Cálculo

A ligação entre derivadas e integrais é o Teorema Fundamental do Cálculo:

ℹNota

Se F é primitiva de f num intervalo [a,b], então:

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) = [F (x)]_{a}^{b}

Isto transforma o cálculo de áreas (problema geométrico) numa conta algébrica simples.

Exemplo:

\int_{1}^{3} (2 x + 1) d x = [x^{2} + x]_{1}^{3} = (9 + 3) - (1 + 1) = 12 - 2 = 10

Aplicações

Área entre duas curvas: Se f(x) ≥ g(x) em [a,b]:

A = \int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x

Volume de sólido de revolução (em torno do eixo xx):

V = π \int_{a}^{b} [f (x)]^{2} d x

Dose acumulada de medicamento: Se c(t) é a concentração no sangue em função do tempo, a dose total absorvida entre t₁ e t₂ é $\int_{t_{1}}^{t_{2}} c (t) d t$ . Os farmacologistas usam isto para calcular a "área sob a curva" (AUC) — o principal parâmetro de bioequivalência de medicamentos genéricos.

Técnicas de Integração

Substituição (regra da cadeia inversa):

\int f (g (x)) g^{'} (x) d x = F (g (x)) + C

Integração por partes (regra do produto inversa):

\int u d v = uv - \int v d u

Regra mnemónica LIATE para escolher u: Logaritmo, Inverso trigonométrico, Algébrico (polinómio), Trigonométrico, Exponencial — nesta ordem de preferência.