Estudo Completo de Funções

O engenheiro aeroespacial que optimiza o perfil de uma asa encontra a função de arrasto em função do ângulo de ataque e procura o mínimo. O analista financeiro que gere um portefólio de investimentos estuda funções de retorno e risco para encontrar o equilíbrio óptimo. O farmacologista que define a dosagem de um medicamento estuda a curva de concentração para encontrar o pico e garantir que não ultrapassa o nível tóxico.

Todos eles fazem a mesma coisa: análise completa de funções.

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Roteiro do Estudo

O estudo de uma função f segue um roteiro sistemático:

1. Domínio — Para que valores de x está f definida?
2. Continuidade e Diferenciabilidade
3. Paridade — f é par (f(−x) = f(x)) ou ímpar (f(−x) = −f(x))?
4. Zeros e Sinal — Onde f(x) = 0? Onde f(x) > 0 ou < 0?
5. Limites e Assimptotas — Comportamento nos extremos e descontinuidades
6. Monotonia — Usando f'(x): onde f cresce e decresce?
7. Extremos — Máximos e mínimos (locais e globais)
8. Concavidade — Usando f''(x): onde f é côncava (∪) ou convexa (∩)?
9. Inflexões — Onde muda a concavidade
10. Esboço do Gráfico

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Monotonia e Extremos com f'

Teorema da monotonia:

• f'(x) > 0 em ]a,b[ → f crescente em ]a,b[
• f'(x) < 0 em ]a,b[ → f decrescente em ]a,b[
• f'(x) = 0 em ]a,b[ → f constante

Critério dos extremos (1ª derivada): Se f'(a) = 0 e f' muda de sinal em x=a:

• f' passa de + para − → máximo local
• f' passa de − para + → mínimo local

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Concavidade e Inflexões com f''

A segunda derivada informa sobre a curvatura do gráfico:

• f''(x) > 0 → concavidade positiva (∪, "curvatura para cima")
• f''(x) < 0 → concavidade negativa (∩, "curvatura para baixo")
• f''(a) = 0 e f'' muda de sinal → ponto de inflexão em x=a

Critério dos extremos (2ª derivada): Se f'(a) = 0:

• f''(a) > 0 → mínimo local
• f''(a) < 0 → máximo local
• f''(a) = 0 → inconclusivo (usar 1ª derivada)

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Assimptotas

Assimptota vertical x=a: ${\lim }_{x\to a^{\pm }}f(x)=\pm \infty$

Assimptota horizontal y=b: ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=b$

Assimptota oblíqua y=mx+n: calcular $m={\lim }_{x\to \infty }\frac{f(x)}{x}$ e $n={\lim }_{x\to \infty }[f(x)-mx]$

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Exemplo Completo: f(x) = x³ − 3x

1. Domínio: ℝ
2. Paridade: f(−x) = −x³+3x = −f(x) → função ímpar (simetria em relação à origem)
3. Zeros: x³−3x = 0 → x(x²−3) = 0 → x = 0, x = ±√3
4. f'(x) = 3x²−3 = 3(x−1)(x+1): zeros em x = ±1
   • Máximo local em x=−1: f(−1) = 2
   • Mínimo local em x=1: f(1) = −2
5. f''(x) = 6x: negativa para x < 0 (∩), positiva para x>0 (∪)
   • Inflexão em x=0: f(0) = 0
6. Assimptotas: nenhuma (f é polinomial)