Quando Dobrar Não Para de Dobrar

Em março de 2020, Portugal registava 13 casos confirmados de COVID-19. Catorze dias depois, eram 331. Não porque o vírus se tinha tornado mais perigoso — mas porque cada infetado transmitia a, em média, outros 2,5. E esses 2,5 transmitiam a mais 2,5. E esses…

Este padrão — em que cada valor gera múltiplos do seguinte — não é linear. É exponencial. E é a razão pela qual uma pandemia pode passar de "ninguém preocupado" para "tudo fechado" em três semanas.

O mesmo princípio explica os juros compostos, o decaimento radioativo, a escala de magnitude dos sismos e o pH dos ácidos. Uma família de funções, infinitas aplicações.

Funções Exponenciais

Uma função exponencial tem a forma:

f (x) = a^{x} com a > 0, a \neq = 1

A variável está no expoente — o que a torna radicalmente diferente de um polinómio.

Propriedades fundamentais:

Domínio: ℝ (todos os reais)
Contradomínio: ]0, +∞[ (sempre positivo)
f(0) = 1 para qualquer base a
Se a > 1: função crescente (crescimento exponencial)
Se 0 < a < 1: função decrescente (decaimento exponencial)

O número e — a base natural

O número $e \approx 2, 718...$ é irracional e transcendente. Aparece naturalmente sempre que algo cresce de forma contínua à sua própria taxa:

e = n \to \infty lim (1 + \frac{1}{n})^{n}

A função $f (x) = e^{x}$ é única: é a única função que é a sua própria derivada. Daí ser ubíqua em física, biologia e economia.

Logaritmos: A Operação Inversa

Se $a^{x} = b$ , então $lo g_{a} b = x$ .

O logaritmo responde à pergunta: "A que potência tenho de elevar a para obter b?"

Exemplos:

$lo g_{2} 8 = 3$ porque $2^{3} = 8$
$lo g_{10} 1000 = 3$ porque $1 0^{3} = 1000$
$ln e^{2} = 2$ porque $e^{2} = e^{2}$

Logaritmos mais usados

| Notação | Base | Nome | |---------|------|------| | $lo g x$ | 10 | Logaritmo decimal (comum) | | $ln x$ | e | Logaritmo natural (neperiano) | | $lo g_{2} x$ | 2 | Logaritmo binário |

Propriedades dos Logaritmos

Estas propriedades transformam multiplicações em adições — foi por isso que logaritmos foram o "Google Translate" da matemática antes das calculadoras.

lo g_{a} (M \cdot N) = lo g_{a} M + lo g_{a} N

lo g_{a} \frac{M}{N} = lo g_{a} M - lo g_{a} N

lo g_{a} M^{n} = n \cdot lo g_{a} M

lo g_{a} a = 1 lo g_{a} 1 = 0

Mudança de base:

lo g_{a} b = \frac{ln b}{ln a} = \frac{lo g b}{lo g a}

Equações Exponenciais e Logarítmicas

Tipo 1 — Mesma base: $2^{x + 1} = 2^{3} \Rightarrow x + 1 = 3 \Rightarrow x = 2$

Tipo 2 — Bases diferentes: Aplica logaritmos dos dois lados:

3^{x} = 7 \Rightarrow x ln 3 = ln 7 \Rightarrow x = \frac{ln 7}{ln 3} \approx 1, 77

Tipo 3 — Equação logarítmica:

lo g_{2} (x - 1) + lo g_{2} (x + 1) = 3 \Rightarrow lo g_{2} [(x - 1) (x + 1)] = 3 \Rightarrow x^{2} - 1 = 8 \Rightarrow x = 3

(verificar: x = 3 > 1, válido; x = −3 inválido porque log de negativo não existe)

Aplicações no Mundo Real

Escala de Richter (sismos)

A escala de Richter é logarítmica de base 10. Um sismo de magnitude 7 liberta 10 vezes mais energia que um de magnitude 6, e 100 vezes mais que um de magnitude 5. O terramoto de Lisboa de 1755 estima-se que foi de magnitude 8,5–9.

pH (acidez)

pH = - lo g_{10} [H^{+}]

Uma solução com pH = 3 tem concentração de H⁺ de 10⁻³ mol/L — 10 vezes mais ácida que pH = 4.

Meia-vida radioativa

N (t) = N_{0} \cdot (\frac{1}{2})^{t / T_{1/2}}

O Carbono-14 tem meia-vida de 5 730 anos. Para saber quando um organismo morreu, mede-se quanto C-14 resta e resolve-se uma equação exponencial.

Juros compostos

C (t) = C_{0} \cdot (1 + \frac{r}{n})^{n t}

No limite em que n → ∞ (capitalização contínua): $C (t) = C_{0} \cdot e^{r t}$

💡A intuição central

Exponenciais descrevem crescimento multiplicativo — em que o ritmo de crescimento é proporcional ao que já existe. Logaritmos comprimem escalas enormes em números manejáveis. São inversas uma da outra, tal como adição e subtração, ou multiplicação e divisão.

Exponenciais e Logaritmos: A Matemática do Crescimento