Progressões Aritméticas e Geométricas

Em 1786, o professor Heinrich Büttner queria ocupar os seus alunos de 9 anos durante algum tempo: «Somem todos os números inteiros de 1 a 100.» Mal terminou a frase, um miúdo chamado Carl Friedrich Gauss pousou a lousa com o resultado: 5050. Enquanto os outros somavam um a um, Gauss tinha percebido que $1 + 100 = 101$ , $2 + 99 = 101$ , $3 + 98 = 101$ ... e que havia 50 pares assim. Logo, $50 \times 101 = 5050$ . Tinha redescoberto a fórmula da soma de uma progressão aritmética.

Progressões Aritméticas (PA)

Uma progressão aritmética é uma sequência em que a diferença entre termos consecutivos é constante — a razão $r$ .

a_{n} - a_{n - 1} = r (constante)

Exemplos:

$2, 5, 8, 11, 14, \dots$ — PA com razão $r = 3$
$10, 7, 4, 1, - 2, \dots$ — PA com razão $r = - 3$
$5, 5, 5, 5, \dots$ — PA constante com $r = 0$

Termo Geral de uma PA

a_{n} = a_{1} + (n - 1) r

Exemplo: Na PA $3, 7, 11, 15, \dots$ com $a_{1} = 3$ e $r = 4$ :

a_{n} = 3 + (n - 1) \cdot 4 = 4 n - 1

O 20.º termo: $a_{20} = 4 \times 20 - 1 = 79$ .

Soma dos Primeiros n Termos de uma PA

Esta é a fórmula que Gauss redescobriu:

S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2} = \frac{n ( 2 a _{1} + ( n - 1 ) r )}{2}

Verificação com Gauss: $S_{100} = \frac{100 \cdot ( 1 + 100 )}{2} = 50 \times 101 = 5050$ ✓

💡Propriedade da média numa PA

Em qualquer PA, o termo do meio é a média aritmética dos termos que o rodeiam. E a soma de termos equidistantes dos extremos é sempre constante: $a_{k} + a_{n + 1 - k} = a_{1} + a_{n}$ .

Progressões Geométricas (PG)

Uma progressão geométrica é uma sequência em que o quociente entre termos consecutivos é constante — a razão $q$ .

\frac{a _{n}}{a _{n - 1}} = q (q \neq = 0, a_{i} \neq = 0)

Exemplos:

$2, 6, 18, 54, \dots$ — PG com razão $q = 3$
$100, 50, 25, 12, 5, \dots$ — PG com razão $q = 0, 5$
$1, - 2, 4, - 8, \dots$ — PG com razão $q = - 2$

Termo Geral de uma PG

a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}

Exemplo: Na PG $3, 6, 12, 24, \dots$ com $a_{1} = 3$ e $q = 2$ :

a_{10} = 3 \cdot 2^{9} = 3 \times 512 = 1536

Soma dos Primeiros n Termos de uma PG

S_{n} = a_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1} (q \neq = 1)

Se $q = 1$ , então $S_{n} = n \cdot a_{1}$ .

ℹCrescimento exponencial vs linear

Uma PA cresce linearmente — o gráfico de $a_{n}$ em função de $n$ é uma reta. Uma PG cresce exponencialmente — o gráfico é uma curva. Esta diferença é fundamental: uma PG com $q > 1$ acaba sempre por ultrapassar qualquer PA, por maior que seja a razão desta.

Juros Simples vs. Juros Compostos

As progressões ligam-se diretamente à matemática financeira.

Juros Simples — Progressão Aritmética

O capital cresce linearmente:

C_{n} = C_{0} (1 + n \cdot i)

onde $i$ é a taxa de juro e $n$ o número de períodos. Os montantes formam uma PA com razão $C_{0} \cdot i$ .

Juros Compostos — Progressão Geométrica

O capital cresce de forma exponencial:

C_{n} = C_{0} \cdot (1 + i)^{n}

Os montantes formam uma PG com razão $q = 1 + i$ .

Exemplo: 1000 € investidos a 5% ao ano. Após 10 anos:

Juros simples: $C_{10} = 1000 (1 + 10 \times 0, 05) = 1500 €$
Juros compostos: $C_{10} = 1000 \times 1, 0 5^{10} \approx 1628, 89 €$

A diferença de quase 129 € explica porque os bancos preferem juros compostos.

🔬A magia dos juros compostos

Albert Einstein terá chamado aos juros compostos «a oitava maravilha do mundo». Se investires 100 € por mês desde os 25 anos, a 7% ao ano, terás mais de 260 000 € aos 65 anos — investiste apenas 48 000 €.

Soma de uma Série Geométrica Infinita

Se $∣ q ∣ < 1$ , a soma de infinitos termos de uma PG converge:

S = \frac{a _{1}}{1 - q} (∣ q ∣ < 1)

Exemplo clássico: A dízima $0, \overline{3} = 0, 3333 \dots$ é uma série geométrica:

0, 3 + 0, 03 + 0, 003 + \dots = \frac{0 , 3}{1 - 0 , 1} = \frac{0 , 3}{0 , 9} = \frac{1}{3}

Outro exemplo: Qual o valor de $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots$ ?

S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2

⚠Condição de convergência

A fórmula $S = a_{1} / (1 - q)$ só é válida quando $∣ q ∣ < 1$ . Se $∣ q ∣ \geq 1$ , a série diverge (a soma vai para o infinito ou oscila indefinidamente).

Problemas Tipo — Encontrar Termos Desconhecidos

Problema 1: Numa PA, o 4.º termo é 17 e o 9.º termo é 37. Determina o 1.º termo e a razão.

a_{4} = a_{1} + 3 r = 17

a_{9} = a_{1} + 8 r = 37

Subtraindo: $5 r = 20 ⟹ r = 4$ . Logo $a_{1} = 17 - 12 = 5$ .

Problema 2: Numa PG, o 2.º termo é 6 e o 5.º é 162. Determina a razão.

a_{5} = a_{2} \cdot q^{3} ⟹ 162 = 6 q^{3} ⟹ q^{3} = 27 ⟹ q = 3

Para o Exame

Distingue rapidamente PA de PG: na PA, a diferença é constante; na PG, o quociente é constante.
A soma de uma PA usa a fórmula de Gauss: $S_{n} = n (a_{1} + a_{n}) /2$ .
Para juros compostos, reconhece a PG com razão $1 + i$ .
A série geométrica infinita converge apenas se $∣ q ∣ < 1$ — enuncia esta condição nos exames.
Em provas do IAVE, os problemas de progressões surgem frequentemente ligados a modelos de crescimento populacional, dívida e poupança.