Números Complexos: Quando √−1 se Torna Real

Em 1545, o matemático italiano Gerolamo Cardano incluiu na sua obra Ars Magna a resolução de uma equação que, a meio do cálculo, obrigava a calcular √−15. Cardano chamou-lhe "sofistica" e "inútil" — mas utilizou o resultado mesmo assim.

Três séculos depois, o engenheiro Charles Steinmetz (1893) descobriu que usando números complexos para representar correntes elétricas alternadas, circuitos que antes exigiam equações diferenciais passariam a ser resolvidos com simples multiplicações. A corrente alterna que alimenta as tomadas da tua casa é descrita com √−1.

O "número impossível" tornou-se indispensável.

A Unidade Imaginária

Define-se a unidade imaginária i tal que:

i^{2} = - 1 \Leftrightarrow i = - 1

As potências de i repetem-se ciclicamente:

i^{0} = 1, i^{1} = i, i^{2} = - 1, i^{3} = - i, i^{4} = 1, \dots

Número Complexo: Forma Algébrica

Um número complexo z tem a forma:

z = a + bi, a, b \in R

Parte real: Re(z) = a
Parte imaginária: Im(z) = b
Conjugado: $\overset{z}{ˉ} = a - bi$
Módulo: $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$

Operações:

Soma: $(a + bi) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i$
Produto: $(a + bi) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i$
Quociente: $\frac{a + bi}{c + d i} = \frac{( a + bi ) ( c - d i )}{c ^{2} + d ^{2}}$ (multiplica pelo conjugado)

Representação Geométrica: Plano de Argand

O número complexo z = a + bi representa-se no plano de Argand como o ponto (a, b) — onde o eixo horizontal é o eixo real e o vertical é o imaginário.

O módulo |z| é a distância à origem. O argumento arg(z) é o ângulo com o eixo real positivo.

Forma Trigonométrica (Polar)

z = r (cos θ + i sin θ), r = ∣ z ∣, θ = ar g (z)

Notação: z = r cis θ

Multiplicação em forma polar:

r_{1} cis θ_{1} \cdot r_{2} cis θ_{2} = r_{1} r_{2} cis (θ_{1} + θ_{2})

Ao multiplicar complexos: multiplicam-se os módulos e somam-se os argumentos.

Fórmula de Euler e de Moivre

Fórmula de Euler (uma das mais belas da matemática):

e^{i θ} = cos θ + i sin θ

Para θ = π: $e^{iπ} + 1 = 0$ — a identidade que une e, i, π, 1 e 0.

Fórmula de De Moivre:

(cos θ + i sin θ)^{n} = cos (n θ) + i sin (n θ)

Raízes n-ésimas de um número complexo z = r·cis θ:

w_{k} = n r cis (\frac{θ + 2 k π}{n}), k = 0, 1, \dots, n - 1

São n raízes igualmente espaçadas num círculo de raio $n r$ .