Matemática Financeira

Em 2023, o preço médio de uma habitação em Lisboa ultrapassava os 4 500 €/m². Uma família que comprasse um apartamento de 100 m² por 200 000 € — com entrada de 20% e crédito de 160 000 € a 30 anos a uma taxa de 4% — pagaria mensalidades de cerca de 764 € e liquidaria ao banco, no total, mais de 275 000 €. O banco recebeu 115 000 € em juros — quase a metade do preço do apartamento. Compreender matemática financeira não é apenas um requisito do currículo: é literacia básica de sobrevivência económica.

Juro Simples

No regime de juro simples, o juro é sempre calculado sobre o capital inicial $C_{0}$ .

Juro gerado num período de $n$ unidades de tempo à taxa $i$ :

J = C_{0} \cdot i \cdot n

Montante final:

M = C_{0} + J = C_{0} (1 + i c d o t n)

Exemplo: 5 000 € a juro simples de 3% ao ano durante 4 anos:

M = 5000 (1 + 0, 03 \times 4) = 5000 \times 1, 12 = 5600 €

O juro gerado é 600 €.

ℹQuando se usa juro simples

O juro simples aplica-se principalmente a operações de curto prazo (prazo inferior a um ano): letras de câmbio, depósitos a prazo de menos de um ano, descontos comerciais. Em Portugal, as cadernetas de poupança de curto prazo e os certificados de aforro usam juro simples.

Juro Composto

No regime de juro composto, o juro de cada período é adicionado ao capital, gerando juros nos períodos seguintes — os «juros dos juros».

Montante após n períodos:

M = C_{0} (1 + i)^{n}

Juro total gerado:

J = M - C_{0} = C_{0} [(1 + i)^{n} - 1]

Exemplo (Crédito Habitação):

Capital inicial: 160 000 €, taxa anual: 4%, prazo: 30 anos.

Se fosse um depósito a juro composto (sem amortizações):

M = 160, 000 \times (1, 04)^{30} \approx 160, 000 \times 3, 2434 \approx 518, 943 €

Isto ilustra o poder exponencial dos juros compostos ao longo do tempo.

💡Regra dos 72

Para estimar rapidamente em quantos anos um capital duplica a juro composto, divide 72 pela taxa percentual anual. A 4%: $72/4 = 18$ anos. A 8%: 9 anos. Esta regra é uma aproximação excelente para taxas entre 2% e 15%.

Taxa Nominal vs. Taxa Efetiva

Quando a capitalização é mais frequente do que anual, importa distinguir:

Taxa nominal anual $r$ : taxa publicitada, dividida pelo número de períodos.
Taxa efetiva anual $i_{e f}$ : taxa que, com capitalização anual, produziria o mesmo resultado.

Se a taxa nominal é $r$ com $m$ capitalizações por ano:

i_{ef} = left(1 + rac{r}{m} ight)^m - 1

Exemplo: Banco oferece 6% ao ano com capitalização trimestral ( $m = 4$ ):

i_{ef} = left(1 + rac{0{,}06}{4} ight)^4 - 1 = (1{,}015)^4 - 1 \approx 0{,}06136 = 6{,}136\%

A taxa efetiva (6,136%) é superior à nominal (6%).

⚠TAEG em Portugal

A lei portuguesa obriga os bancos a apresentar a TAEG (Taxa Anual de Encargos Efetiva Global) nos contratos de crédito. A TAEG inclui não só os juros mas também comissões, seguros e outros encargos — e é a taxa que permite comparar produtos de crédito diferentes de forma justa.

Capitalização e Desconto

Capitalização (levar ao futuro)

M = C_{0} (1 + i)^{n}

Desconto (trazer ao presente)

O valor atual (ou valor presente) de um montante futuro $M$ :

C_0 = rac{M}{(1 + i)^n} = M cdot (1 + i)^{-n}

Exemplo: Qual o valor presente de 10 000 € a receber daqui a 5 anos, com taxa de 5%?

C_0 = rac{10,000}{(1{,}05)^5} \approx rac{10,000}{1{,}2763} \approx 7835 \text{ €}

Anuidades (Rendas)

Uma anuidade (ou renda) é uma sequência de pagamentos iguais e periódicos.

Renda Imediata, Postecipada (Pagamentos no final do período)

Valor atual de $n$ prestações de valor $R$ :

VA = R cdot rac{1 - (1+i)^{-n}}{i}

Valor futuro (montante acumulado no final):

VF = R cdot rac{(1+i)^n - 1}{i}

Exemplo — Prestação do Crédito Habitação:

Crédito de 160 000 €, taxa mensal $i_{m} = 4$ , 360 prestações ( $n = 30 \times 12$ ).

160,000 = R cdot rac{1 - (1{,}003333)^{-360}}{0{,}003333}

R \approx 160, 000 im es 0, 004774 \approx 764 €/m \overset{e}{ˆ} s

Total pago: $764 \times 360 = 275, 040 €$ . Juros totais: $275, 040 - 160, 000 = 115, 040 €$ .

Valor Atual Líquido (VAL)

O VAL é a diferença entre o valor atual de todos os recebimentos e o valor atual de todos os pagamentos de um projeto de investimento:

VAL = sum_{t=0}^n rac{CF_t}{(1+i)^t}

onde $C F_{t}$ é o fluxo de caixa no período $t$ e $i$ é a taxa de atualização.

Regra de decisão:

$V A L > 0$ : o projeto cria valor — aceita-se.
$V A L < 0$ : o projeto destrói valor — rejeita-se.
$V A L = 0$ : indiferente.

Exemplo simples: Investe-se 10 000 € hoje. Recebe-se 4 000 € no ano 1, 5 000 € no ano 2 e 3 000 € no ano 3. Taxa de atualização: 8%.

VAL = -10,000 + rac{4,000}{1{,}08} + rac{5,000}{1{,}08^2} + rac{3,000}{1{,}08^3}

V A L \approx - 10, 000 + 3, 704 + 4, 286 + 2, 382 = 372 €

Como VAL > 0, o projeto é rentável.

Taxa Interna de Rentabilidade (TIR)

A TIR é a taxa de atualização que torna o VAL igual a zero:

VAL = 0 \iff sum_{t=0}^n rac{CF_t}{(1+TIR)^t} = 0

Regra de decisão: se $T I R > i$ (taxa de custo de capital), o projeto é aceite.

🔬Crédito e sobreendividamento em Portugal

Segundo o Banco de Portugal, em 2023 o crédito à habitação representava cerca de 69% do total de crédito concedido às famílias portuguesas. Com taxas Euribor a subir de valores negativos para mais de 4% em 2023, as prestações mensais de muitos agregados aumentaram mais de 300 € — ilustrando a importância de compreender o impacto das taxas variáveis.

Para o Exame

Distingue claramente juro simples ( $M = C_{0} (1 + in)$ , progressão aritmética) de juro composto ( $M = C_{0} (1 + i)^{n}$ , progressão geométrica).
A taxa efetiva é sempre maior ou igual à taxa nominal quando há capitalização subcapital (mais de uma capitalização por ano).
Em problemas de anuidades, o VAL e a fórmula da renda são usados para calcular prestações ou valores atuais — identifica qual é a incógnita.
O VAL é muito testado no IAVE em contexto de decisão de investimento.