Funções Inversas e Composição de Funções

Quando o teu router WiFi indica «−65 dBm» de sinal, está a usar uma escala logarítmica. Os decibéis são definidos como $10 lo g_{10} (P)$ — e o logaritmo é precisamente a inversa da potência de 10. Sem perceber funções inversas, não consegues interpretar espectros de frequência, níveis de sonoridade, escalas de terramoto (Richter) ou acidez química (pH). A função inversa é a operação de «desfazer» — e é uma das ideias mais poderosas de toda a matemática.

Composição de Funções

Antes de estudar a inversa, é preciso entender a composição: aplicar uma função ao resultado de outra.

Definição

Dadas $f : A \to B$ e $g : B \to C$ , a composição $g \circ f$ é a função:

(g \circ f) (x) = g (f (x)), x \in A

Nota: A composição não é, em geral, comutativa: $g \circ f \neq = f \circ g$ .

Exemplo

Seja $f (x) = x^{2} + 1$ e $g (x) = 2 x - 3$ .

(g \circ f) (x) = g (f (x)) = g (x^{2} + 1) = 2 (x^{2} + 1) - 3 = 2 x^{2} - 1

(f \circ g) (x) = f (g (x)) = f (2 x - 3) = (2 x - 3)^{2} + 1 = 4 x^{2} - 12 x + 10

Claramente $g \circ f \neq = f \circ g$ .

ℹDomínio da composição

O domínio de $g \circ f$ é o conjunto de todos os $x \in D_{f}$ para os quais $f (x) \in D_{g}$ . Presta atenção a este detalhe em funções com restrições de domínio (radicais, logaritmos, racionais).

Funções Bijetivas — Condição para a Existência da Inversa

Para que uma função tenha inversa (no sentido estrito), deve ser bijetiva — ou seja, simultaneamente:

Injetiva (ou injeção): elementos distintos do domínio têm imagens distintas. $f (x_{1}) = f (x_{2}) ⟹ x_{1} = x_{2}$ . Geometricamente: qualquer reta horizontal interseta o gráfico no máximo uma vez (teste da reta horizontal).
Sobrejetiva (ou surjeção): todo o elemento do contradomínio é imagem de algum elemento do domínio. O conjunto imagem coincide com o contradomínio.

⚠Inversa vs. Função inversa

Qualquer função injetiva tem inversa (restringindo o contradomínio ao conjunto imagem). Mas para falar de «função inversa» de forma natural, costumamos assumir bijetividade. Em exames, se a função não for bijetiva em todo o domínio natural, pode ser necessário restringir o domínio.

Definição de Função Inversa

Se $f : A \to B$ é bijetiva, a sua função inversa $f^{- 1} : B \to A$ satisfaz:

f^{- 1} (y) = x ⟺ f (x) = y

E verifica as propriedades:

(f^{- 1} \circ f) (x) = x \forall x \in A

(f \circ f^{- 1}) (y) = y \forall y \in B

Como Calcular a Função Inversa

O método algébrico é direto:

Escreve $y = f (x)$ .
Isola $x$ em função de $y$ .
Substitui $y$ por $x$ na expressão obtida.

Exemplos de Cálculo da Inversa

Exemplo 1 — Função Linear

$f (x) = 3 x - 5$ . Encontra $f^{- 1}$ .

y = 3 x - 5 ⟹ x = \frac{y + 5}{3} ⟹ f^{- 1} (x) = \frac{x + 5}{3}

Verificação: $f (f^{- 1} (x)) = 3 \cdot \frac{x + 5}{3} - 5 = x + 5 - 5 = x$ ✓

Exemplo 2 — Função Quadrática (com restrição)

$f (x) = x^{2}$ com $x \geq 0$ . (A restrição garante injetividade.)

y = x^{2} ⟹ x = y ⟹ f^{- 1} (x) = x, x \geq 0

Exemplo 3 — Exponencial e Logaritmo

$f (x) = e^{x}$ , com domínio $R$ e contradomínio $R^{+}$ :

y = e^{x} ⟹ x = ln y ⟹ f^{- 1} (x) = ln x

O logaritmo natural é precisamente a inversa da exponencial. Este par é fundamental em cálculo diferencial e em física.

Exemplo 4 — Função Racional

$f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ , $x \neq = 1$ .

y = \frac{2 x + 1}{x - 1} ⟹ y (x - 1) = 2 x + 1 ⟹ y x - y = 2 x + 1

x (y - 2) = y + 1 ⟹ x = \frac{y + 1}{y - 2}

Portanto: $f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ , $x \neq = 2$ .

💡Curiosidade sobre funções autoinversas

A função $f (x) = 1/ x$ é a sua própria inversa: $f^{- 1} (x) = 1/ x = f (x)$ . A estas funções chamamos involuções. Outro exemplo: $f (x) = - x$ .

O Gráfico da Função Inversa

O gráfico de $f^{- 1}$ obtém-se por reflexão do gráfico de $f$ em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares (reta $y = x$ ).

Porquê? Se $(a, b)$ pertence ao gráfico de $f$ , então $f (a) = b$ , logo $f^{- 1} (b) = a$ , e $(b, a)$ pertence ao gráfico de $f^{- 1}$ . O ponto $(b, a)$ é o simétrico de $(a, b)$ em relação à reta $y = x$ .

Composição com a Inversa — Exemplo Integrador

Seja $f (x) = 2^{x}$ e $g (x) = lo g_{2} (x)$ . Como $g = f^{- 1}$ :

(g \circ f) (x) = lo g_{2} (2^{x}) = x \forall x \in R

(f \circ g) (x) = 2^{l o g_{2} x} = x \forall x > 0

A composição de uma função com a sua inversa dá sempre a função identidade $id (x) = x$ .

🔬Inversa em criptografia

Os sistemas de criptografia de chave pública (como o RSA) são baseados em funções de mão única — funções fáceis de calcular mas cuja inversa é computacionalmente inviável de obter sem informação adicional (a chave privada). A segurança do teu banco online depende desta assimetria.

Para o Exame

Para provar que $g$ é a inversa de $f$ , mostra que $f (g (x)) = x$ e $g (f (x)) = x$ .
O domínio de $f^{- 1}$ é o conjunto imagem de $f$ , e vice-versa.
Para funções quadráticas, a inversa só existe se o domínio for restringido (metade da parábola).
O gráfico da inversa é sempre a reflexão em $y = x$ — saber esboçá-lo é uma competência testada no IAVE.
Em problemas de composição, presta atenção ao domínio: $D_{g \circ f} \subseteq D_{f}$ .