O Algoritmo que Te Conhece Melhor do que os Teus Amigos

Já aconteceu alguma vez: abres a Netflix, vês uma série que nunca ouviste falar, começas a ver "só um episódio", e duas horas depois ainda estás ali. Como é que a plataforma sabia?

Por trás de cada recomendação há um sistema que aprende com o teu comportamento. A ideia central é simples: se viste X, há uma probabilidade Y de gostares de Z. Cada utilizador tem um "perfil" que é uma colecção de números — quanto tempo passou em cada género, quantas estrelas deu, quantas vezes clicou no pause — e o algoritmo encontra padrões.

No fundo, o algoritmo da Netflix é uma máquina de transformar entradas em saídas de forma previsível. Dás-lhe informação sobre ti (entrada), e ele devolve-te recomendações (saída). Existe um nome matemático para este tipo de máquina: função.

E as funções estão em todo o lado — na física, na economia, na música, na biologia. Aprender a ler e escrever funções é aprender a linguagem com que o mundo faz sentido.

O Que é uma Função?

Uma função é uma regra que associa cada valor de entrada a exatamente um valor de saída.

Pensa numa máquina de vending: carregas no botão A3 (entrada) e sai sempre a mesma bebida (saída). Nunca saem duas bebidas diferentes para o mesmo botão. Isso é uma função.

Em matemática, escrevemos:

f (x) = express \overset{a}{˜} o em x

O x é a variável de entrada (também chamado variável independente). O resultado f(x) é a saída (a variável dependente — depende do valor de x).

Exemplos:

f(x) = 2x → duplica o valor de entrada
f(x) = x + 5 → soma 5 ao valor de entrada
f(x) = x² → eleva ao quadrado

O que NÃO é função: se para x = 3 a regra desse tanto 7 como 9, isso não é uma função — cada entrada tem de ter uma saída única.

Funções Lineares

As funções mais simples — e das mais úteis — são as funções lineares, da forma:

f (x) = m x + b

O seu gráfico é sempre uma linha recta. Os dois parâmetros têm significados precisos:

m é o declive (ou coeficiente angular): diz quão inclinada está a recta
b é a ordenada na origem: diz onde a recta cruza o eixo vertical (quando x = 0)

O Que o Declive Representa

O declive m mede a taxa de variação: quanto é que y varia quando x aumenta 1 unidade.

m = 2 → cada vez que x sobe 1, y sobe 2 (recta a subir de forma acentuada)
m = 0,5 → cada vez que x sobe 1, y sobe 0,5 (recta a subir de forma suave)
m = -3 → cada vez que x sobe 1, y desce 3 (recta a descer)
m = 0 → y nunca muda, seja qual for x (recta horizontal)

Exemplo real: Um táxi em Lisboa cobra um valor de base de €2,50 e depois €1,20 por quilómetro. A função do custo é:

C (k m) = 1, 20 \times k m + 2, 50

Aqui, m = 1,20 (cada quilómetro custa mais €1,20) e b = 2,50 (pagas sempre €2,50 só por entrar no táxi). Se andares 10 km:

C (10) = 1, 20 \times 10 + 2, 50 = 12 + 2, 50 = 14, 50 €

Aplicação: Duas Funções, Uma Decisão

A Maria quer contratar um fotógrafo para o aniversário. O Fotógrafo A cobra €150 fixos mais €20/hora. O Fotógrafo B cobra €50 fixos mais €40/hora. Qual escolher?

A (h) = 20 h + 150

B (h) = 40 h + 50

Para encontrar o ponto de equilíbrio (onde custam o mesmo), igualamos:

20 h + 150 = 40 h + 50

100 = 20 h

h = 5

Para menos de 5 horas, o Fotógrafo B é mais barato. Para mais de 5 horas, o Fotógrafo A é mais barato. Com dois gráficos no mesmo eixo, o ponto de intersecção visível confirma isto instantaneamente.

Resumo

Uma função associa cada entrada a exatamente uma saída: f(x) = ...
As funções lineares têm a forma f(x) = mx + b e gráfico em linha recta.
O declive m indica a taxa de variação: quanto y muda por cada unidade de x.
A ordenada na origem b é o valor de y quando x = 0.
Podemos ler a equação de um gráfico identificando dois pontos e calculando m e b.

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