Equações do 2.º Grau e Fórmula Resolutiva

Em 1535, dois matemáticos italianos — Niccolò Tartaglia e Antonio Fior — disputaram um duelo público de matemática. O prémio: quem resolvesse mais equações do terceiro grau num só dia. Tartaglia, que gaguejava desde criança e se autodidata chamava «o tartamudo», tinha descoberto em segredo uma fórmula que Fior não conhecia. Venceu todos os trinta problemas em apenas duas horas. Mas antes de chegar ao terceiro grau, é preciso dominar o segundo — e é precisamente essa história que começa aqui.

O Que É uma Equação do 2.º Grau?

Uma equação do 2.º grau (ou equação quadrática) tem a forma geral:

a x^{2} + b x + c = 0, a \neq = 0

onde $a$ , $b$ e $c$ são números reais. O coeficiente $a$ não pode ser zero — caso contrário, seria uma equação do 1.º grau.

Exemplos:

$2 x^{2} - 5 x + 3 = 0$ — completa ( $a = 2, b = - 5, c = 3$ )
$x^{2} - 9 = 0$ — incompleta (falta o termo em $x$ )
$3 x^{2} + 7 x = 0$ — incompleta (falta o termo independente)

ℹGrau de uma equação

O grau de uma equação polinomial é o maior expoente presente. Numa equação do 2.º grau, o maior expoente é 2 — daí o nome. A parábola $y = a x^{2} + b x + c$ é o gráfico associado.

A Fórmula Resolutiva (Fórmula de Bhaskara)

A fórmula que resolve qualquer equação do 2.º grau foi sistematizada pelo matemático indiano Bhaskara II no século XII, séculos antes de Tartaglia:

x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

Esta fórmula dá diretamente as duas raízes (ou confirma que não existem raízes reais).

O Discriminante

A expressão dentro da raiz quadrada tem nome próprio — é o discriminante, denotado por $Δ$ (delta):

Δ = b^{2} - 4 a c

O sinal do discriminante determina tudo:

| $Δ$ | Número de raízes reais | Significado geométrico | |---|---|---| | $Δ > 0$ | Duas raízes distintas | Parábola corta o eixo $O x$ em dois pontos | | $Δ = 0$ | Uma raiz dupla | Parábola tangente ao eixo $O x$ | | $Δ < 0$ | Sem raízes reais | Parábola não interseta o eixo $O x$ |

⚠Atenção ao sinal de a

Se $a > 0$ , a parábola abre para cima (concavidade voltada para cima). Se $a < 0$ , abre para baixo. Isto é fundamental para interpretar máximos e mínimos.

Exemplos Resolvidos

Exemplo 1 — Dois resultados distintos

Resolver $2 x^{2} - 7 x + 3 = 0$ .

Passo 1: Identificar $a = 2$ , $b = - 7$ , $c = 3$ .

Passo 2: Calcular o discriminante:

Δ = (- 7)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25

Passo 3: Aplicar a fórmula:

x = \frac{7 \pm 25}{4} = \frac{7 \pm 5}{4}

Portanto: $x_{1} = \frac{7 + 5}{4} = 3$ e $x_{2} = \frac{7 - 5}{4} = \frac{1}{2}$ .

Exemplo 2 — Raiz dupla

Resolver $x^{2} - 6 x + 9 = 0$ .

Δ = 36 - 36 = 0 ⟹ x = \frac{6}{2} = 3

Raiz dupla: $x = 3$ . Note que $x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}$ .

Exemplo 3 — Sem raízes reais

Resolver $x^{2} + x + 1 = 0$ .

Δ = 1 - 4 = - 3 < 0

Não existem raízes reais. (Existem raízes complexas, mas isso é matéria do 12.º ano.)

Relações de Viète — Soma e Produto das Raízes

Quando $Δ \geq 0$ , as raízes $x_{1}$ e $x_{2}$ satisfazem sempre:

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}

Estas relações, descobertas pelo matemático francês François Viète no século XVI, permitem verificar respostas sem voltar a calcular tudo.

Verificação do Exemplo 1:

Soma: $3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2} = - \frac{- 7}{2}$ ✓
Produto: $3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = \frac{c}{a}$ ✓

💡Truque rápido para exames

Se o enunciado pede as raízes mas o discriminante é feio, usa as relações de Viète para verificar se as tuas respostas são coerentes. Poupa tempo e evita erros de cálculo.

Equações Incompletas — Casos Especiais

Caso 1: $b = 0$ (tipo $a x^{2} + c = 0$ )

x^{2} = - \frac{c}{a} ⟹ x = \pm - \frac{c}{a} (se - \frac{c}{a} \geq 0)

Exemplo: $3 x^{2} - 12 = 0 ⟹ x^{2} = 4 ⟹ x = \pm 2$

Caso 2: $c = 0$ (tipo $a x^{2} + b x = 0$ )

Fatoriza-se o $x$ em evidência:

x (a x + b) = 0 ⟹ x = 0 ou x = - \frac{b}{a}

Equações Bicuadradas

Uma equação bicuadrada tem a forma $a x^{4} + b x^{2} + c = 0$ . Resolve-se com a substituição $t = x^{2}$ :

a t^{2} + b t + c = 0

Depois de encontrar $t_{1}$ e $t_{2}$ , resolve $x^{2} = t_{i}$ (só se $t_{i} \geq 0$ ).

Exemplo: Resolver $x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$ .

Seja $t = x^{2}$ : $t^{2} - 5 t + 4 = 0$

Δ = 25 - 16 = 9 ⟹ t = \frac{5 \pm 3}{2} ⟹ t_{1} = 4, t_{2} = 1

De $x^{2} = 4$ : $x = \pm 2$ . De $x^{2} = 1$ : $x = \pm 1$ .

As quatro raízes são: $x \in {- 2, - 1, 1, 2}$ .

Aplicação Real — Trajetória de um Projétil

A altura $h$ (em metros) de um objeto lançado verticalmente é dada por:

h (t) = - \frac{1}{2} g t^{2} + v_{0} t + h_{0}

onde $g \approx 9, 8 m/s^{2}$ , $v_{0}$ é a velocidade inicial e $h_{0}$ é a altura inicial.

Problema: Uma bola é lançada do chão ( $h_{0} = 0$ ) com velocidade inicial $v_{0} = 20$ m/s. Quando toca o chão novamente?

0 = - 4, 9 t^{2} + 20 t ⟹ t (- 4, 9 t + 20) = 0

Logo $t = 0$ (lançamento) ou $t = \frac{20}{4 , 9} \approx 4, 08$ segundos.

🔬Aplicação em Portugal

As equações quadráticas surgem em provas do IAVE regularmente associadas a áreas de retângulos, trajetórias e problemas de otimização simples. Em 2023, mais de 60% dos exercícios de álgebra do 9.º ano envolviam equações do 2.º grau.

Para o Exame

Memoriza $Δ = b^{2} - 4 a c$ e a fórmula resolutiva.
Verifica sempre com as relações de Viète: $x_{1} + x_{2} = - b / a$ e $x_{1} \cdot x_{2} = c / a$ .
Nas equações incompletas, nunca dividas ambos os membros por $x$ — perdes a raiz $x = 0$ !
Em equações bicuadradas, a substituição $t = x^{2}$ é sempre o primeiro passo.
Se $Δ < 0$ , escreve explicitamente «não tem raízes reais» — o avaliador quer ver esse raciocínio.

Equações do 2.º Grau e Fórmula Resolutiva

Equações do 2.º Grau e Fórmula Resolutiva

O Que É uma Equação do 2.º Grau?

A Fórmula Resolutiva (Fórmula de Bhaskara)

O Discriminante

Exemplos Resolvidos

Exemplo 1 — Dois resultados distintos

Exemplo 2 — Raiz dupla

Exemplo 3 — Sem raízes reais

Relações de Viète — Soma e Produto das Raízes

Equações Incompletas — Casos Especiais

Caso 1: b=0 (tipo ax2+c=0)

Caso 2: c=0 (tipo ax2+bx=0)

Equações Bicuadradas

Aplicação Real — Trajetória de um Projétil

Para o Exame

Caso 1: $b = 0$ (tipo $a x^{2} + c = 0$ )

Caso 2: $c = 0$ (tipo $a x^{2} + b x = 0$ )