Distribuições de Probabilidade

Em 1809, Carl Friedrich Gauss estava a estudar os erros de observação em astronomia. Notou que quando múltiplos astrónomes mediam a mesma posição de uma estrela, os erros seguiam sempre o mesmo padrão: muitas medições próximas do valor real, poucas muito afastadas — e o padrão era sempre simétrico.

A curva que Gauss descreveu matematicamente — a distribuição normal, ou "curva em sino" — acabaria por aparecer em toda a parte: altura humana, inteligência, preços de ações, erros de medição, distribuição de notas. O motivo: o Teorema do Limite Central.

Variável Aleatória

Uma variável aleatória X é uma função que associa um número real a cada resultado possível de um experimento.

Discreta: assume valores enumeráveis (ex: número de caras em 10 lançamentos de moeda)
Contínua: assume qualquer valor num intervalo (ex: altura de uma pessoa)

Esperança matemática (valor médio):

E (X) = i \sum x_{i} \cdot P (X = x_{i}) (discreta)

Variância e desvio padrão:

Var (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2} σ = Var (X)

Distribuição de Bernoulli e Binomial

Ensaio de Bernoulli: experiência com apenas dois resultados — "sucesso" (prob. p) e "insucesso" (prob. 1−p).

Distribuição Binomial B(n, p): número de sucessos em n ensaios independentes de Bernoulli.

P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}, k = 0, 1, \dots, n

E (X) = n p Var (X) = n p (1 - p)

Distribuição Normal N(μ, σ²)

A distribuição normal com média μ e desvio padrão σ tem a famosa curva em sino:

f (x) = \frac{1}{σ 2 π} e^{- \frac{( x - μ ) ^{2}}{2 σ ^{2}}}

Propriedades:

Simétrica em torno de μ
68% dos dados estão em [μ−σ, μ+σ]
95% em [μ−2σ, μ+2σ]
99,7% em [μ−3σ, μ+3σ]

Esta regra 68-95-99,7 (ou "regra empírica") é fundamental em controlo de qualidade, medicina e ciências.

Normalização: Variável Z

Para calcular probabilidades em qualquer N(μ, σ²), transformamos em N(0,1) (normal padrão):

Z = \frac{X - μ}{σ}

As probabilidades de Z lêem-se na tabela da distribuição normal (tabela Z).

Exemplo: A altura dos portugueses do sexo masculino é N(173, 49) [média 173 cm, σ=7 cm]. Probabilidade de ter mais de 187 cm:

P (X > 187) = P (Z > \frac{187 - 173}{7}) = P (Z > 2) = 1 - Φ (2) \approx 2, 3%

Teorema do Limite Central

Por que a normal está em todo o lado? O Teorema do Limite Central responde:

Se somarmos n variáveis aleatórias independentes com qualquer distribuição (de média μ e variância σ²), a soma converge para uma distribuição normal quando n → ∞.