Limites e Continuidade

Zenão de Eleia, filósofo grego do século V a.C., propôs um paradoxo perturbador:

Aquiles corre dez vezes mais depressa que uma tartaruga. Dá-lhe 100 metros de vantagem. Quando Aquiles percorre 100m, a tartaruga está 10m à frente. Quando Aquiles percorre esses 10m, a tartaruga está 1m à frente. Quando Aquiles percorre esse 1m, a tartaruga está 0,1m à frente. E assim infinitamente — Aquiles nunca ultrapassa a tartaruga!

O argumento parece irrefutável. Mas claramente é falso — na vida real, Aquiles ultrapassa a tartaruga em segundos.

O erro de Zenão: assumiu que uma soma de infinitos termos é necessariamente infinita. A teoria dos limites demonstra que a soma $100 + 10 + 1 + 0, 1 + \dots = \frac{100}{1 - 0 , 1} = \frac{1000}{9} \approx 111, 1 m$ é finita. Aquiles ultrapassa a tartaruga exatamente a 111 metros e alguns centímetros da linha de partida.

O Conceito de Limite

O limite de uma função formaliza a ideia de "aproximar-se de" sem necessariamente "chegar a".

ℹNota

Dizemos que o limite de f(x) quando x tende para a é L, e escrevemos

x \to a lim f (x) = L

quando f(x) se aproxima de L à medida que x se aproxima de a (mas não necessariamente em x=a).

Exemplo: Considera $f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ . Em x=1, a função não está definida (0/0). Mas para x ≠ 1:

\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x - 1} = x + 1

Portanto $lim_{x \to 1} \frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = lim_{x \to 1} (x + 1) = 2$ .

Limites Laterais

O limite pode ser analisado pela esquerda e pela direita separadamente:

Limite pela esquerda: $lim_{x \to a^{-}} f (x) = L^{-}$ (x aproxima-se de a por valores menores)
Limite pela direita: $lim_{x \to a^{+}} f (x) = L^{+}$ (x aproxima-se de a por valores maiores)

O limite existe ↔ os dois limites laterais existem e são iguais: $L^{-} = L^{+} = L$

Indeterminações

Algumas formas que surgem ao calcular limites não têm valor imediato e requerem manipulação:

| Forma | Nome | |-------|------| | $\frac{0}{0}$ | Indeterminação 0/0 | | $\frac{\infty}{\infty}$ | Indeterminação ∞/∞ | | $0 \cdot \infty$ | Indeterminação 0×∞ | | $\infty - \infty$ | Indeterminação ∞−∞ | | $1^{\infty}, 0^{0}, \infty^{0}$ | Indeterminações exponenciais |

Técnica para 0/0: factorizar e simplificar (como no exemplo acima).

Técnica para ∞/∞ em racionais: dividir pelo termo dominante.

💡Dica

x \to \infty lim \frac{3 x ^{2} - 5 x}{2 x ^{2} + 1} = x \to \infty lim \frac{3 - 5/ x}{2 + 1/ x ^{2}} = \frac{3}{2}

Continuidade

Uma função é contínua em x=a se três condições se verificam:

f(a) está definida
$lim_{x \to a} f (x)$ existe
$lim_{x \to a} f (x) = f (a)$

Intuitivamente: o gráfico não tem "saltos", "buracos" ou assimptotas verticais.

Assimptotas

As assimptotas são rectas às quais o gráfico de f se aproxima indefinidamente:

Assimptota vertical em x=a: $lim_{x \to a^{\pm}} f (x) = \pm \infty$
Assimptota horizontal y=L: $lim_{x \to \pm \infty} f (x) = L$
Assimptota oblíqua y=mx+b: $lim_{x \to \pm \infty} [f (x) - (m x + b)] = 0$