Geometria Analítica: Coordenadas que Te Encontram

O GPS do teu telemóvel não "vê" a estrada. Recebe sinais de 4 satélites em órbita a 20 200 km de altitude. Cada satélite diz "estás a X km de mim". Com 3 distâncias, a tua posição está numa esfera de intersecção. Com 4, o sistema resolve a equação e diz: "Estás exatamente na Av. da Liberdade, Lisboa, a 38.7169° N, 9.1392° O."

Isso é geometria analítica: transformar relações espaciais em equações e resolver equações para descobrir posições.

O Sistema de Coordenadas Cartesianas

René Descartes (1637) teve a ideia de colocar dois eixos perpendiculares — xx e yy — para descrever qualquer ponto do plano com um par de números (x, y).

Esta ideia simples unificou a geometria (formas) com a álgebra (equações), criando a geometria analítica.

Distância entre dois pontos

Dados A = (x₁, y₁) e B = (x₂, y₂), pelo Teorema de Pitágoras:

d (A, B) = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

Ponto médio de AB:

M = (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})

Equação da Recta

Uma recta pode ser descrita de várias formas:

Forma explícita: $y = m x + b$ (m = declive, b = ordenada na origem)

Forma reduzida com ponto: Recta com declive m passando por (x₀, y₀):

y - y_{0} = m (x - x_{0})

Forma geral: $a x + b y + c = 0$

Declive a partir de dois pontos A = (x₁,y₁) e B = (x₂,y₂):

m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

Paralelismo e perpendicularidade:

Rectas paralelas têm o mesmo declive: m₁ = m₂
Rectas perpendiculares têm declives com produto −1: m₁ × m₂ = −1

Equação da Circunferência

A circunferência de centro C = (a, b) e raio r é o conjunto de todos os pontos P = (x, y) com distância r ao centro:

d (P, C) = r \Leftrightarrow (x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

Exemplo: Circunferência com centro (2, −1) e raio 3:

(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9

Expandindo: $x^{2} - 4 x + 4 + y^{2} + 2 y + 1 = 9$ , ou seja $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 4 = 0$ .

Reconhecer a equação geral $x^{2} + y^{2} + D x + E y + F = 0$ : completar o quadrado para encontrar centro e raio.

Posição Relativa Recta-Circunferência

Substituindo a equação da recta na circunferência:

2 pontos de intersecção → recta secante (discriminante Δ > 0)
1 ponto de intersecção → recta tangente (Δ = 0)
0 pontos → recta exterior (Δ < 0)

A distância do centro à recta também dá a mesma informação: se d < r → secante; d = r → tangente; d > r → exterior.